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Abitur 2002 Mathematik GK Analytische Geometrie V
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(-1|3|-2) , B(-1|-3|4) und C(7|-5|2) gegeben.
Teilaufgabe 1a  (4 BE)

Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig und rechtwinklig ist.

Teilaufgabe 1b  (4 BE)

M(3|-1|0) ist der Mittelpunkt der Strecke [AC]. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D, für den M die Strecke [BD] innen im Verhältnis 2:1 teilt.                 [zur Kontrolle: D(5|0|-2)]

Teilaufgabe 1c  (3 BE)

Besitzt das Viereck ABCD einen Umkreis? Begründen Sie Ihre Antwort.

Teilaufgabe 1d  (4 BE)

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Vierecks ABCD.

Teilaufgabe 2a  (5 BE)

Geben Sie in Normalenform eine Gleichung der Ebene E an, in der das Dreieck ABC liegt.   
                                          [ mögliches Ergebnis: E: x1+2x2+2x3-1 = 0]

Teilaufgabe 2b  (5 BE)

Auf der Lotgeraden zur Ebene E durch M liegen zwei Punkte S und S', die mit den Punkten A und C ein Quadrat bilden. Ermitteln Sie die Koordinaten der beiden Punkte S und S'; benennen Sie dabei den mit S, der die größere x1-Koordinate besitzt.
                                [zur Kontrolle: S(5|3|4) ]

Teilaufgabe 2c  (5 BE)

Das Quadrat ASCS' bildet die Grundfläche einer Pyramide mit Spitze B. Berechnen Sie den Winkel, den die Kanten [AB] und [SB] einschließen, und begründen Sie damit, dass alle Seitenflächen gleichseitige Dreiecke sind.

Teilaufgabe 2d  (6 BE)

Es soll ein Kantenmodell der Doppelpyramide ASCS'BD aus Draht hergestellt werden. Beim Verlöten der Drahtstücke gehen 20 % der eingesetzten Drahtlänge verloren. Die Längeneinheit sei 1 cm.
Welche Länge Draht, gerundet auf mm, wird benötigt?

Teilaufgabe 2e  (4 BE)

Berechnen Sie das Volumen der Doppelpyramide ASCS'BD.

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