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Abitur 2001 Mathematik LK Analytische Geometrie VI
In einem kartesischen Koordinatensystem des ℝ 3 sind die Ebene E: x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 - 36 = 0 , der Punkt P(8|6|8) und durch P die Geradenschar

g t : x = ( 8 6 8 ) + λ ( - 2 - 2 t - 4 + t 5 )  mit t , λ ∈ ℝ  gegeben.
Teilaufgabe 1a  (3 BE)

Zeigen Sie, dass alle Geraden g t  in der Ebene E liegen.

Teilaufgabe 1b  (7 BE)

Weisen Sie nach, dass alle Geraden g t  die x 1 x 2 -Ebene schneiden, und geben Sie eine Gleichung der Geraden s an, auf der diese Schnittpunkte liegen.

[Mögliches Teilergebnis: x = ( 8 14 0 ) + σ ( 2 - 1 0 ) , σ ∈ ℝ ]

Teilaufgabe 1c  (4 BE)


Legen Sie ein Schrägbild des Koordinatensystems an (ganze Seite, Ursprung in Blattmitte, Maßstab geeignet wählen) und tragen Sie den Punkt P, die Gerade s  sowie drei beliebige Geraden der Geradenschar g t ein.

Teilaufgabe 1d  (3 BE)

Geben Sie eine Gleichung für die Gerade an, die durch P läuft, in der Ebene E liegt, aber nicht der Geradenschar g t angehört.

Teilaufgabe 2a  (7 BE)

Q ist die senkrechte Projektion von P auf die x 1 x 2 -Ebene. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes S auf der Geraden s so, dass das Dreieck PQS minimalen Flächeninhalt hat. Tragen Sie das Dreieck in die Zeichnung aus Aufgabe 1c ein. [Zur Kontrolle: S(11,2|12,4|0)]

Teilaufgabe 2b  (5 BE)

Jede Gerade g t schließt mit ihrer Projektion auf die x 1 x 2 -Ebene einen spitzen Winkel α t ein. Begründen Sie, warum α t maximal den Wert von ∠PSQ annehmen kann.

Teilaufgabe 3a  (5 BE)

Eine Kugel K mit Mittelpunkt M und Radius r = 3 berührt die Ebene E im Punkt P. Dabei liegt M in dem Halbraum bezüglich E, der den Ursprung nicht enthält. Bestimmen Sie die Koordinaten von M.

Teilaufgabe 3b  (6 BE)

Der Punkt L liegt auf der Halbgeraden [PM und hat von E den Abstand d = 8. Die Tangenten, die von L aus an die Kugel K gelegt werden können, schneiden die  Ebene E in einem Kreis. Berechnen Sie den Radius R dieses Kreises.

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