Abitur 2000 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I

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Abitur 2000 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I

Gegeben ist die Schar der in

ℝ

definierten Funktionen

f_{k} : x \mapsto (k^{2} x + k) e^{- kx}

mit

k \in ℝ^{+}

. Der Graph von

f_{k}

wird mit

G_{k}

bezeichnet.

Teilaufgabe 1a (4 BE)

Bestimmen Sie die Schnittpunkte von

G_{k}

mit den Koordinatenachsen und untersuchen Sie das Verhalten von

f_{k}

für

x \to + \infty

und

x \to - \infty

Teilaufgabe 1b (5 BE)

Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von

G_{k}

.
[zur Kontrolle:

f_{k}' (x) = - k^{3} x · e^{- kx}

]

Teilaufgabe 1c (9 BE)

Zeigen Sie, dass

G_{k}

genau einen Wendepunkt

W_{k}

besitzt, und geben Sie dessen Koordinaten an. Weisen Sie nach, dass ey = k(3 - kx) eine Gleichung der Wendetangente

t_{k}

ist.
Geben Sie eine Gleichung der Kurve C an, auf der alle Punkte

W_{k}

liegen.

Teilaufgabe 1d (5 BE)

Berechnen Sie

f_{1} (1, 6)

. Zeichnen Sie unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse

G_{1}

und

t_{1}

in ein gemeinsames Koordinatensystem im Bereich

x \in [- 1, 5; 4]

(Längeneinheit 2 cm).

Teilaufgabe 2a (4 BE)

Durch

F (x) = (ax + b) e^{- x}

ist eine Stammfunktion von

f_{1}

gegeben. Bestimmen Sie a und b.

Teilaufgabe 2b (3 BE)

Der Graph

G_{1}

und die Koordinatenachsen begrenzen im ersten Quadranten ein Flächenstück, das sich ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück einen endlichen Inhalt besitzt.

Teilaufgabe 3 (5 BE)

Begründen Sie, dass die Einschränkung von

f_{1}

auf

ℝ^{+}

eine Umkehrfunktion h besitzt, und geben Sie deren Definitions- und Wertebereich an. Der Term von h soll nicht explizit ermittelt werden. Begründen Sie, an welcher Stelle die Ableitung von h ein lokales Extremum aufweist. Bestimmen Sie den Wert der Ableitung von h an dieser Stelle.

Der Funktionswert

f_{1} (t)

sei die Maßzahl für die Masse einer Substanz in Abhängigkeit von der Zeit. Dabei ist t die Maßzahl der von Messbeginn an in Sekunden gemessenen Zeit (