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Abitur 2000 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II
Gegeben ist die Funktion   f :   x ↦   4 ⁢ x e 0 , 5 ⁢ x   mit Definitionsbereich  D f   =   ℝ .
G f  bezeichnet den Graphen von f.
Teilaufgabe 1a  (5 BE)

Geben Sie die Nullstelle der Funktion an und untersuchen Sie das Verhalten von f an den Grenzen des Definitionsbereichs. Geben Sie die Gleichung der horizontalen Asymptote von  G f  an.

Teilaufgabe 1b  (10 BE)

Untersuchen Sie das Monotonie- und das Krümmungsverhalten von G f . Ermitteln Sie Lage und Art des Extrempunkts sowie die Lage des Wendepunkts von G f .
[zur Kontrolle:   f ' ⁢ ( x ) = e - 0 , 5 ⁢ x ⁢ ( 4 - 2 ⁢ x ) ]

Teilaufgabe 1c  (7 BE)

Die Gleichung der Wendetangente w lautet   y = - 4 e 2 ⁢ x + 32 e 2 .
Bestätigen Sie dies durch Rechnung und ermitteln Sie den spitzen Winkel (auf Grad genau), unter dem w die y-Achse schneidet.

Teilaufgabe 1d  (6 BE)

Berechnen Sie die Funktionswerte an den Stellen 1 2 , 1 und 6. Zeichnen Sie mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse den Graphen  G f  und die Wendetangente w im Bereich  - 1   <   x   <   9   (Längeneinheit: 1 cm).

Teilaufgabe 2a  (3 BE)

Zeigen Sie, dass   F :     x ↦   - 8 ⁢ x   - 16 e 0 , 5 ⁢ x   ,   D F   =   ℝ  , eine Stammfunktion von f ist.

Teilaufgabe 2b  (4 BE)

Der Graph G f , die x-Achse und die Gerade x = 6 schließen eine Fläche vom Inhalt A ein. Berechnen Sie A auf 2 Dezimalen gerundet.

Teilaufgabe 3a  (5 BE)

Skizzieren Sie einen Anwendungszusammenhang beispielsweise aus den Naturwissenschaften oder der Wirtschaftslehre, in dem eine Funktion der Art   x   ↦   a ·   e bx  eine wichtige Rolle spielt  ( a ,   b   ≠   0 ) .
Begründen Sie kurz, ob der Parameter b in dem von Ihnen beschriebenen Anwendungszusammenhang positiv oder negativ ist.
Welche Bedeutung hat der Parameter a?

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